Analyse numérique : Mesurer la grandeur : Normes vectorielles et matricielles

En algèbre matricielle itérative, nous avons besoin d'un cadre mathématique rigoureux pour mesurer la « taille » des vecteurs et des matrices. Ces métriques nous permettent de déterminer si une approximation s'approche de la solution exacte. Les normes vectorielles et matricielles associent des tableaux à haute dimension à des nombres réels positifs tout en préservant des propriétés algébriques spécifiques qui bornent les erreurs et garantissent la convergence.

La fondation axiomatique des normes

Définition 7.1 : Norme vectorielle

Une norme vectorielle $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{R}^n$ doit satisfaire quatre critères :

Non-négativité : $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
Définie : $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
Homogénéité absolue : $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
Inégalité triangulaire : $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$

Métriques principales : $l_2$ et $l_\infty$

Selon Définition 7.2, les normes les plus critiques pour l'analyse numérique sont :

Norme euclidienne ($l_2$) : $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Géométriquement, la distance la plus courte depuis l'origine.
Norme maximale ($l_\infty$) : $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Cela capture la magnitude du composant le plus élevé.

Ces définitions nous permettent de définir la distance entre une solution exacte $\mathbf{x}$ et une approximation $\mathbf{y}$ comme $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Définition 7.4).

Normes matricielles et amplification induite

Une norme matricielle ajoute une cinquième propriété « sous-multiplicative » (Définition 7.8) : $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.

Théorème 7.11 : La somme maximale des lignes

Pour une matrice $n \times n$ $A$, la norme naturelle $l_\infty$ est calculée comme le maximum des sommes absolues des lignes : $$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$

Exemple résolu : Calcul vectoriel et matriciel

Considérons $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ et $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.

Normes vectorielles

$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.
$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.

Norme matricielle $l_\infty$

Ligne 1 : $|1|+|2|+|-1|=4$
Ligne 2 : $|0|+|3|+|-1|=4$
Ligne 3 : $|5|+|-1|+|1|=7$
Résultat : $\|A\|_\infty = 7$.

🎯 Principe fondamental

Bien que la « forme » spécifique de la grandeur change selon les normes, Théorème 7.7 garantit l'équivalence : la convergence dans la norme $l_\infty$ implique la convergence dans la norme $l_2$ et inversement.

$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$

QUESTION 1

Quelle propriété distingue une norme matricielle (Définition 7.8) d'une norme vectorielle standard ?

Homogénéité absolue : ||αA|| = |α| ||A||

Sous-multiplicativité : ||AB|| ≤ ||A|| ||B||

Inégalité triangulaire : ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||

Non-négativité : ||A|| ≥ 0

QUESTION 2

Calculez la norme l∞ du vecteur x = (-1, 1, -2)ᵀ.

√6

QUESTION 3

Étant donné une matrice A 3x3, si les sommes absolues des lignes sont respectivement 4, 4 et 7, quelle est la valeur de ||A||∞ ?

QUESTION 4

Selon l'inégalité de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz (Théorème 7.3), laquelle des affirmations suivantes est vraie pour les vecteurs x et y ?

Σ x_i y_i ≤ ||x||₂ ||y||₂

Σ x_i y_i ≤ ||x||∞ ||y||∞

||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂

||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

QUESTION 5

Si un vecteur dans ℝ⁴ a une norme l∞ égale à 3, quelle est la borne supérieure la plus serrée pour sa norme l₂ selon le Théorème 7.7 ?

√3

Défi : Convergence et bornes d'erreur

Analyse des normes matricielles

Une méthode itérative produit une approximation $\mathbf{\tilde{x}} = (1.2001, 0.99991, 0.92538)^t$ pour un système dont la solution exacte est $\mathbf{x} = (1, 1, 1)^t$. En outre, considérez la matrice $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 7 \end{bmatrix}$ utilisée dans un contexte de préconditionnement où $C^{-1} = D^{-1/2}$.

Déterminez les distances $l_2$ et $l_\infty$ entre la solution exacte et l'approximation.

Solution :
1. Définissez le vecteur d'erreur $\mathbf{e} = \mathbf{x} - \mathbf{\tilde{x}} = (-0.2001, 0.00009, 0.07462)^t$.
2. $\|\mathbf{e}\|_\infty = \max(|-0.2001|, |0.00009|, |0.07462|) = 0.2001$.
3. $\|\mathbf{e}\|_2 = \sqrt{(-0.2001)^2 + (0.00009)^2 + (0.07462)^2} \approx \sqrt{0.04004 + 0 + 0.00557} \approx 0.2136$.

Calculez la norme $l_\infty$ de la matrice $A$ et expliquez comment l'échelonnage par $D^{-1/2}$ affecte la norme.

Solution :
1. Sommes des lignes de $A$ : R1 : $|3|+|-1|+|1|=5$ ; R2 : $|3|+|6|+|2|=11$ ; R3 : $|3|+|3|+|7|=13$. Ainsi $\|A\|_\infty = 13$.
2. L'échelonnage par $D^{-1/2}$ où $D = \text{diag}(3, 6, 7)$ donne une nouvelle matrice $A' = D^{-1/2}A$. Chaque ligne $i$ est divisée par $\sqrt{a_{ii}}$. Cela réduit généralement la norme et rend les éléments diagonaux $\sqrt{a_{ii}}$, tendant à équilibrer l'influence des différentes équations dans les méthodes itératives.

Vérifiez si la fonction $\| \mathbf{x} \|_{1} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$ satisfait l'axiome de l'inégalité triangulaire.

Preuve :
Soit $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$.
$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|$.
Par l'inégalité triangulaire scalaire, $|x_i + y_i| \leq |x_i| + |y_i|$ pour chaque $i$.
En sommant sur tous les $i$ : $\sum |x_i + y_i| \leq \sum (|x_i| + |y_i|) = \sum |x_i| + \sum |y_i|$.
Ainsi, $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 \leq \| \mathbf{x} \|_1 + \| \mathbf{y} \|_1$. L'axiome est satisfait.